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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，以O 为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
    （1）求点C的坐标和过O、C、A三点的抛物线的解析式；
    （2）P是此抛物线的对称轴上一动点，当以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点P的坐标；
    （3）M（x，y）是此抛物线上一个动点，当△MOB的面积等于△OAB面积时，求M的坐标．

    【答案】分析：（1）在Rt△OAB中，已知∠BOA的度数和AB的长，可求出OA的值，即可得到点A的坐标；由于△OBC由△OAB折叠所得，那么∠BOA=∠BOC、且OA=OC，过C作x轴的垂线，在构建的直角三角形中，通过解直角三角形可得到点C的坐标；最后利用待定系数法可求出抛物线的解析式．
    （2）以P、O、C为顶点的等腰三角形并没有确定腰和底，所以要分情况讨论：①CP=OP、②OC=CP、③OC=OP；
    首先设出点P的坐标，在用表达式表示出△OPC三边长后，按上面所列情况列方程求解即可．
    （3）在直线OB两边，到OB的距离等于的直线有两条，直线和抛物线的交点就是M点，求出即可．
    解答：解：（1）由已知条件，可知OC=OA==2，∠COA=60°，
    C点的坐标为（，3），
    设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
    则，解得，
    所求抛物线的解析式为y=-x2+2x．

    （2）由题意，设P（，y），则：
    OP2=y2+3、CP2=（y-3）2=y2-6y+9、OC2=12；
    ①当OP=CP时，6y=6，即 y=1；
    ②当OP=OC时，y2=9，即 y=±3（y=3舍去）；
    ③当CP=OC时，y2-6y-3=0，即 y=3±2；
    ∴P点的坐标是（，1）或（，-3）或（，3-2）或（，3+2）；

    （3）
    过A作AR⊥OB于R，过O作ON⊥MN于N，MN与y轴交于点D．
    ∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
    ∴OA=2，OB=4，
    由三角形面积公式得：4×AR=2×2，
    AR=，
    ∵△MOB的面积等于△OAB面积，
    ∴在直线OB两边，到OB的距离等于的直线有两条，直线和抛物线的交点就是M点，
    ∠NOD=∠BOA=30°，ON=，
    则OD=2，
    求出直线OB的解析式是y=x，
    则这两条直线的解析式是y=x+2，y=x-2，
    解，，
    解得：，，，
    此时，M1（，3）、M2（，）．M3（2，0）．M4（-，-）．
    点评：该题主要考查：利用待定系数法确定函数解析式、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质以及三角形面积的解法等基础知识；类似（2）题的等腰三角形判定题，通常都要根据不同的腰和底进行分类讨论，以免漏解．
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    （1）求点C的坐标；
    （2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
    （3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    （1）求点C的坐标；
    （2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
    （3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M精英家教网．问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为(-
    b
    2a
    ，
    4ac-b2
    4a
    )    ，对称轴公式为x=-
    b
    2a
    ．

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    （2013•武汉模拟）已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，以O 为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
    （1）求点C的坐标和过O、C、A三点的抛物线的解析式；
    （2）P是此抛物线的对称轴上一动点，当以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点P的坐标；
    （3）M（x，y）是此抛物线上一个动点，当△MOB的面积等于△OAB面积时，求M的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•六盘水）已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=2
    		3
    ，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
    （1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．
    （2）求抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标．
    （3）线段OB与抛物线交与点E，点P为线段OE上一动点（点P不与点O，点E重合），过P点作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：在线段OE上是否存在这样的点P，使得PD=CM？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：第34章《二次函数》常考题集（23）：34.4 二次函数的应用（解析版） 题型：解答题

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    注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为，对称轴公式为x=-．

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