Question

20．如图1，已知E是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点，点E从B点向D点运动（与B、D不重合），过点E作直线GH平行于BC，交AB于点G，交CD于点H；连接AE，过点E作EF⊥AE于点E，交CD（或CD的延长线）于点F．
（1）在图1中判断△AEF是什么三角形；
（2）点E在运动过程中（图1、图2），四边形AFHG的面积是否发生变化？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD是正方形，BD是对角线，且GH∥BC，求证△GEB和△HDE都是等腰直角三角形．又利用EF⊥AE，可得∠EFH=∠AEG，然后即可求证△AGE≌△EHF，推出AE=EF即可解决问题；
（2）分两种情况进行讨论：（i）当点E运动到BD的中点时，利用四边形AFHG是矩形，可得S_{四边形AFHG}=$\frac{1}{2}$；
（ii）当点E不在BD的中点时，点E在运动（与点B、D不重合）的过程中，四边形AFHG是直角梯形．由（1）知，△AGE≌△EHF，同理，图（2），△AGE≌△EHF可得，S_{四边形AFHG}=$\frac{1}{2}$（FH+AG）•GH=$\frac{1}{2}$，然后即可得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，且GH∥BC，
∴四边形AGHD和四边形GHCB都是矩形，
△GEB和△HDE都是等腰直角三角形．
∴∠AGE=∠EHF=90°，GH=BC=AB，EG=BG
∴GH-EG=AB-BG
即EH=AG
∴∠EFH+∠FEH=90°
又∵EF⊥AE，
∴∠AEG+∠FEH=90°．
∴∠EFH=∠AEG
∴△AGE≌△EHF
∴AE=EF，∵∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．

（2）四边形AFHG的面积没有发生变化．
（i）当点E运动到BD的中点时，
四边形AFHG是矩形，S_{四边形AFHG}=$\frac{1}{2}$．
（ii）当点E不在BD的中点时，点E在运动（与点B、D不重合）的过程中，四边形AFHG是直角梯形．
由（1）知，△AGE≌△EHF
同理，图（2），△AGE≌△EHF
∴FH=EG=BG．
∴FH+AG=BG+AG=AB=1
这时，S_{四边形AFHG}=$\frac{1}{2}$（FH+AG）•GH=$\frac{1}{2}$．
综合（i）、（ii）可知四边形AFHG的面积没有发生改变，都是 $\frac{1}{2}$．

点评 此题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题．