Question

如图，矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上且A（1，0），B（4，0），C（4，2），反比例函数在第一象限内的图象恰好过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将矩形ABCD分别沿直线CD、BC翻折，得到矩形EFCD、矩形GHBC、线段EF、GH分别交函数图象于K、J两点．①求直线KJ的解析式；②若点N是x轴上一动点，直接写出当|NK-NJ|值最大时N点坐标；
（3）点M在x轴上，在坐标平面内是否存在点P，使得以A、M、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=图象过点C（4，2），
∴=2，
解得k=8，
∴反比例函数的解析式为：y=；

（2）①由题意得，点K的纵坐标2×2=4，点J的横坐标是4+（4-1）=7，
∵点K、J都在反比例函数y=的图象上，
∴K（2，4），J（7，），
设直线KJ的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线KJ的解析式为y=-x+；
②根据三角形的三边关系|NK-NJ|＜KJ，
∴当点N在直线KJ与x轴的交点时，|NK-NJ|=KJ最大，
此时-x+=0，
解得x=9，
∴点N的坐标是（9，0）；

（3）存在．
如图所示，AC为菱形的边时，存在点P₁（4+，2），
P₂（4-，2），P₃（4，-2），
AC为对角线时，存在点P₄（，2）．
分析：（1）把点C坐标代入反比例函数解析式，根据待定系数法即可求解；
（2）①先根据翻折求出点K的纵坐标的值与点J的横坐标的值，然后代入反比例函数解析式进行计算求出点K、J的坐标，然后利用待定系数法列式即可求出直线KJ的解析式；
②根据三角形的两边之差小于第三边可知当N为直线KJ与x轴的交点时，|NK-NJ|值最大，求出直线与x的交点即可；
（3）分线段AC是菱形的边与对角线两种情况进行求解．
点评：本题综合考查了反比例函数，菱形的性质，矩形的性质，以及待定系数法求函数解析式，综合性较强，对同学们的分析问题与解决问题的能力要求较高，（3）中要注意分AC是菱形的边与对角线两种情况讨论．