Question

求方程x+y+xy=2008的正整数解．

Answer 1

分析：首先将x+y+xy=2008因式分解为（x+1）（y+1）=2009，再将2009分解因式，就分解的因式与（x+1）、（y+1）对应相等，求得x、y的值．

解答：解：∵x+y+xy=2008?（x+xy）+（y+1）=2009?x（y+1）+（y+1）=2009?（x+1）（y+1）=2009，
∵2009可分解为1与2009、7与287、41与49，
当x+1=1，y+1=2009时，x=0不合题意舍去；
当x+1=2009，y+1=1时，y=0不合题意舍去；
当x+1=7，y+1=287时，x=6，y=286；
当x+1=287，y+1=7时，x=286，y=6；
当x+1=41，y+1=49时，x=40，y=48；
当x+1=49，y+1=41时，x=48，y=40．
所以方程x+y+xy=2008的正整数解是：x=6与y=286，x=286与y=6，x=40与y=48，x=48与y=40．

点评：本题考查因式分解的应用，解决本题的关键是首先对x+y+xy=2008进行因式分解，属于开放性题目．