Question

【题目】如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B（b，1）两点．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；
（3）求△PAB的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当x=﹣1时，a=x+4=3，

∴点A的坐标为（﹣1，3）．

将点A（﹣1，3）代入y= 中，

3= ，解得：k=﹣3，

∴反比例函数的表达式为y=﹣

（2）

解：当y=b+4=1时，b=﹣3，

∴点B的坐标为（﹣3，1）．

作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示．

∵点B的坐标为（﹣3，1），

∴点D的坐标为（﹣3，﹣1）．

设直线AD的函数表达式为y=mx+n，

将点A（﹣1，3）、D（﹣3，﹣1）代入y=mx+n中，

，解得： ，

∴直线AD的函数表达式为y=2x+5．

当y=2x+5=0时，x=﹣ ，

∴点P的坐标为（﹣ ，0）

（3）

解：S△PAB=S△ABD﹣S△BDP= ×2×2﹣ ×2× =

【解析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，由点B的坐标可得出点D的坐标，根据点A、D的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合S△PAB=S△ABD﹣S△BDP ， 即可得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解一次函数的图象和性质的相关知识，掌握一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远，以及对反比例函数的图象的理解，了解反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点．