Question

5．如图，点BC是⊙O的直径，点P是⊙O上异于B，C的一点，延长CB至A，使AB=$\frac{1}{2}$BC．
（1）如图1，当PB=$\frac{1}{2}$PC时，求tan∠APB的值；
（2）如图2，延长BC至D，使CD=$\frac{1}{2}$BC，求tan∠APB•tan∠DPC的值．

Answer 1

分析 （1）作BM⊥BP，交AP于M，则BM∥PC，得出$\frac{BM}{PC}=\frac{AB}{AC}$，与已知条件得出$\frac{BM}{PC}=\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{3}$，设BP=x，则PC=2x，BM=$\frac{2}{3}$x，由三角函数定义即可得出结果；
（2）作MB⊥BP于B，CN⊥CP于C，则BM∥CP，CN=BP，与平行线分线段成比例定理得出得出$\frac{BM}{PC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{BP}{CN}$=3，$\frac{CN}{BP}$=$\frac{1}{3}$，由三角函数定义即可得出结果．

解答 解：（1）作BM⊥BP，交AP于M，如图1所示：
则∠MBP=90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BPC=90°，则BM∥PC，
∴$\frac{BM}{PC}=\frac{AB}{AC}$，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{BM}{PC}=\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
设BP=x，则PC=2x，
∴BM=$\frac{2}{3}$x，
∴tan∠APB=$\frac{BM}{BP}$=$\frac{\frac{2}{3}x}{x}$=$\frac{2}{3}$；
（2）作MB⊥BP于B，CN⊥CP于C，如图2所示：
则BM∥CP，CN=BP，
∴$\frac{BM}{PC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{BP}{CN}$=3，$\frac{CN}{BP}$=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠APB•tan∠DPC=$\frac{BM}{BP}$•$\frac{CN}{CP}$=$\frac{BM}{PC}$•$\frac{CN}{BP}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查了圆周角定理、平行线分线段成比例定理、三角函数的定义等知识；熟练掌握圆周角定理和平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．