Question

8．如图，等腰直角△ABC和等腰直角△AEF，∠BAC=∠EAF=90°，连结CE、BF，延长EA交BF于P，当点P为BF的中点时，求$\frac{CE}{AP}$的值．

Answer 1

分析 延长FA到G使AG=AF，如图，易得PA为△FBG的中位线，则BG=2PA，再根据等腰直角三角形的性质得AB=AC，AE=AF，∠GAE=90°，则AG=AE，接着证明△ABG≌△ACE，得到BG=CE，所以CE=2PA，于是可得到$\frac{CE}{AP}$的值．

解答 解：延长FA到G使AG=AF，如图，
∵点P为BF的中点，
∴PA为△FBG的中位线，
∴BG=2PA，
∵等腰直角△ABC和等腰直角△AEF，∠BAC=∠EAF=90°，
∴AB=AC，AE=AF，∠GAE=90°，
∴AG=AE，
∵∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABG和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠2=∠1}\\{AG=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ACE，
∴BG=CE，
∴CE=2PA，
∴$\frac{CE}{AP}$=2．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．解决本题的关键是构建△ABG与△ACE全等．