Question

16．如图，在直角坐标系中，点A（8，0），点B（0，4），点C（-4，-4），连接BC与x轴相交于点D，连接AC与y轴相交于点E，连接DE．
（1）判断△ABC的形状并说明理由；
（2）求证：∠ADB=∠CDE．

Answer 1

分析 （1）由A（8，0），点B（0，4），点C（-4，-4），根据两点间的距离公式得到AB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{4}^{2}+（4+4）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{（8+4）^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{10}$，于是得到距离；
（2）过C作CF⊥BC交y轴于F，CM⊥x轴于M，根据余角的性质得到∠1=∠2，推出△BOD≌△CMD，根据全等三角形的性质得到CD=BD，通过△BCF≌△ABD（SAS），得到BD=CF，∠BFC=∠ADB，推出△CDE≌△CFE（SAS），根据全等三角形的性质得到∠CDE=∠CFE，等量代换即可得到结论∠BDA=∠CDE．

解答 解：（1）△ABC是等腰直角三角形，
理由：∵A（8，0），点B（0，4），点C（-4，-4），
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{4}^{2}+（4+4）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
AC=$\sqrt{（8+4）^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{10}$，
∴AB=BC，
∵AB²+BC²=80+80=160=AC²，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形；

（2）过C作CF⊥BC交y轴于F，CM⊥x轴于M，
∵∠ABC=90°，∠AOB=90°，
∴∠1=∠2，
∵CM=OB=4，
在△BOD与△CMD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CMD=∠BOD}\\{∠CDM=∠BDO}\\{CM=BO}\end{array}\right.$，
∴CD=BD，
在△BCF和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{BC=AB}\\{∠BCF=∠ABD}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ABD（SAS），
∴BD=CF，∠BFC=∠ADB，
∵BD=CD
∴CD=CF，
∵∠ACB=45°，
∴∠FCE=45°，
在△CDE和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CF}\\{∠DCE=∠FCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CFE（SAS），
∴∠CDE=∠CFE，
∴∠BDA=∠CDE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了等腰直角三角形的性质和坐标与图形性质．