Question

1．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD交BD的延长线于点E，延长BA、CE相交于点F．求证：BD=2CE．

Answer 1

分析 先证明△BFC是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质可得CE=$\frac{1}{2}$CF，然后在证明△ADB≌△AFC可得BD=FC，进而证出BD=2CE．

解答 证明：∵BE⊥EC，
∴∠BEF=∠CEB=90°．
∵∠1=∠2，
∴∠F=∠BCF，
∴BF=BC，
∵BE⊥CF，
∴CE=$\frac{1}{2}$CF，
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠CBA=45°，
∴∠F=（180-45）°÷2=67.5°，∠FBE=22.5°，
∴∠ADB=67.5°，
∴∠F=∠ADB，
在△ADB和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠ADB}\\{∠BAC=∠FAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△AFC（AAS），
∴BD=FC，
∴BD=2CE．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．