Question

18．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少？
（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（3）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）

Answer 1

分析 （1）根据题意先求得当单价为70元时的销售量，然后根据利润=销售量×每件的利润求解即可；
（2）依据销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件列出函数关系式即可；
（3）每天的总成本=每件的成本×每天的销售量列出一元一次不等式，从而可求得x的范围，然后利用二次函数的性质可求得最大值利润为4480元．

解答 解：（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润=（70-50）×[50+5×（100-70）]=4000元；
（2）由题得 y=（x-50）[50+5（100-x）]=-5x²+800x-27500（x≥50）．
∵销售单价不得低于成本，
∴50≤x≤100．
（3）∵该企业每天的总成本不超过7000元
∴50×[50+5（100-x）]≤7000（8分）
解得x≥82．
由（2）可知 y=（x-50）[50+5（100-x）]=-5x²+800x-27500
∵抛物线的对称轴为x=80且a=-5＜0
∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x增大而减小．
∴当x=82时，y有最大，最大值=4480，
即 销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元．

点评 本题主要考查的是二次函数的应用，依据题意列出每天的销售利润y与x的定价x的函数关系式是解题的关键．