Question

6．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ABC=90°，D是AC的中点，且AE=$\frac{1}{2}$BD，求证：BE是∠ABC的角平分线．

Answer 1

分析 延长AE、BC交于点F．根据同角的余角相等，得∠DBC=∠FAC；在△BCD和△ACF中，根据ASA证明全等，得AF=BD，从而AE=EF，根据线段垂直平分线的性质，得AB=BF，再根据等腰三角形的三线合一即可证明．

解答 证明：延长AE、BC交于点F；如图所示：
∵AE⊥BE，
∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DBC=∠FAC，
在△ACF和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠BCD}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\\{∠FAC=∠DBC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD．
又AE=$\frac{1}{2}$BD，
∴AE=EF，即点E是AF的中点．
∴AB=BF，
∴BD是∠ABC的角平分线．

点评 此题综合运用了全等三角形的判定以及性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．