Question

4．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离S_P的定义如下：若点P与圆心O重合，则S_P为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则S_P为线段AP的长度．
图1为点P在⊙O外的情形示意图．

（1）若点B（1，0），C（1，1），$D（{0，\frac{1}{3}}）$，则S_B=0；S_C=$\sqrt{2}$-1；S_D=$\frac{2}{3}$；
（2）若直线y=x+b上存在点M，使得S_M=2，求b的取值范围；
（3）已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点．若线段PQ上存在一点T，满足T在⊙O内且S_T≥S_R，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据点的坐标和新定义解答即可；
（2）根据直线y=x+b的特点，结合S_M=2，根据等腰直角三角形的性质解答；
（3）根据T在⊙O内，确定S_T的范围，根据给出的条件、结合图形求出满足条件的线段PQ长度的最大值．

解答 解：（1）∵点B（1，0），
∴S_B=0，
∵C（1，1），
∴S_C=$\sqrt{2}$-1，
∵$D（{0，\frac{1}{3}}）$，
∴S_D=$\frac{2}{3}$，
故答案为：0；$\sqrt{2}$-1；$\frac{2}{3}$；
（2）设直线y=x+b与分别与x轴、y轴交于F、E，
作OG⊥EF于G，
∵∠FEO=45°，
∴OG=GE，
当OG=3时，GE=3，
由勾股定理得，OE=3$\sqrt{2}$，
此时直线的解析式为：y=x+3$\sqrt{2}$，
∴直线y=x+b上存在点M，使得S_M=2，b的取值范围是-3$\sqrt{2}$≤b≤3$\sqrt{2}$；
（3）∵T在⊙O内，
∴S_T≤1，
∵S_T≥S_R，
∴S_R≤1，
∴线段PQ长度的最大值为1+2+1=4．

点评 本题考查的是等腰直角三角形的性质、新定义、点与圆的位置关系，正确理解点P到⊙O的距离S_P的定义、灵活运用数形结合思想是解题的关键．