Question

19．已知：抛物线y=x²+（2m-1）x+m²-1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．
（1）求抛物线的解析式；
（2）结合图象写出y＜0时，对应的x的取值范围；
（3）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长．

Answer 1

分析 （1）根据图象过原点，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据函数与不等式的关系：图象位于x轴下方部分是不等式的解集，可得答案；
（3）根据平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得A、D点关于对称轴对称，根据AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C，可得B点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得A点坐标，根据矩形的周长公式，可得答案．

解答 解：（1）由y=x²+（2m-1）x+m²-1经过坐标原点，得
m²-1=0，解得m=1或m=-1．
当x＜0时，y随x的增大而减小，
得m=-1．
抛物线的解析式y=x²-3x；
（2）由图象1，得
位于x轴下方的部分，
y＜0时，对应的x的取值范围0＜x＜3；
（3）如图2，
由AD∥x轴，得
A、D关于对称轴x=1.5对称，
B、C关于对称轴x=1.5对称，且BC=1，得
1.5-0.5=1，即B（1，0）．
当x=1时，y=1-3=-2，
即A（1，-2）．
矩形ABCD的周长为2（AB+BC）=2×（2+1）=6．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的关系：图象位于x轴下方部分是不等式的解集；利用平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称得出A、D关于对称轴对称是解题关键．