Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，内切圆⊙I切AC、BC于E、F，射线BI、AI交直线EF于点M、N，设S_△AIB=S₁，S_△MIN=S₂，则$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 根据∠C=90°，它的内切圆⊙I分别与边AC、BC相切于点E、F，于是得到△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠CEF=∠CFE=45°，由对顶角的性质得到∠NFB=∠CFE=45°，∠MEA=∠CEF=45°，根据外角的性质得到∠NIB=∠AIM=∠IAB+∠IBA=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠CBA）=45°，于是得到∠M=∠CAN=∠IAB，∠N=∠CBM=∠IBA，推出△NIM∽△AIB，根据相似三角形的性质得到，通过整式的化简即可得到结论．

解答 解：连接IE、IF、IG，IC与EF交于H，
设内切圆⊙I的半径为r，
∵∠C=90°，它的内切圆⊙I分别与边AC、BC相切于点E、F，
∴四边形CEIF是正方形，HI=$\frac{1}{2}$IC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=∠CFE=45°，
∴∠NFB=∠CFE=45°，∠MEA=∠CEF=45°，
∴∠NIB=∠AIM=∠IAB+∠IBA=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠CBA）=45°，
∴∠M=∠CAN=∠IAB，∠N=∠CBM=∠IBA，
∴△NIM∽△BIA，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{IG}{IH}$）²=（$\frac{r}{\frac{\sqrt{2}}{2}r}$）²=2，
故选：B．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握三角形的内切圆的性质、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．