Question

17．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．
（1）函数y=-x²+4x-2在区间[0，5]上的最小值是-7
（2）求函数$y={（{x+\frac{1}{2}}）^2}+\frac{3}{4}$在区间$[{0，\frac{3}{2}}]$上的最小值．
（3）求函数y=x²-4x-4在区间[t-2，t-1]（t为任意实数）上的最小值y_min的解析式．

Answer 1

分析 （1）先求得抛物线的对称轴、顶点坐标，然后画出抛物线的大致图象，根据函数图象可知当x=-5时，函数值最小；
（2）先画出函数的大致图象，然后根据函数图象可知当x=0时，函数值最小；
（3）先求得抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称轴在区间[t-2，t-1]的左侧、区间内、区间右侧分类讨论即可．

解答 解：（1）y=-x²+4x-2其对称轴为直线为x=2，顶点坐标为（2，2），函数图象开口向下．
函数图大致象如图1所示：

当x=5时，函数有最小值，最小值为-7．
故答案为：-7．
（2）$y={（{x+\frac{1}{2}}）^2}+\frac{3}{4}$，其对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$，顶点坐标$（{-\frac{1}{2}，\frac{3}{4}}）$，且图象开口向上．
其顶点横坐标不在区间$[{0，\frac{3}{2}}]$内，
如图2所示．

当x=0时，函数y有最小值$y_{min}^{\;}=1$．
（3）将二次函数配方得：y=x²-4x-4=（x-2）²-8
其对称轴为直线：x=2，顶点坐标为（2，-8），图象开口向上
若顶点横坐标在区间[t-2，t-1]左侧，则2＜t-2，即t＞4．
当x=t-2时，函数取得最小值：${y_{min}}={（t-4）^2}-8={t^2}-8t+8$
若顶点横坐标在区间[t-2，t-1]上，则t-2≤2≤t-1，即3≤t≤4．
当x=2时，函数取得最小值：y_min=-8
若顶点横坐标在区间[t-2，t-1]右侧，则t-1＜2，即t＜3．
当x=t-1时，函数取得最小值：${y_{min}}={（t-3）^2}-8={t^2}-6t+1$
综上讨论，得${y_{min}}=\left\{\begin{array}{l}{t^2}-8t+8（t＞4）\\-8（3≤t≤4）\\{t^2}-6t+1（t＜3）\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查的是二次函数的最值，根据函数解析式画出函数的图象，然后根据对称轴是否在区间内进行分类讨论是解题的关键．