Question

7．已知，如图，在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，AE=BC，求证：AD=2CD．

Answer 1

分析 根据线段垂直平分线性质求出∠BED=∠C=90°，AE=BE，AD=BD，求出∠A=∠EBD，BC=BE，证Rt△BED≌Rt△BCD，根据全等求出∠DBC=∠DBE，求出∠A=∠DBE=∠DBC，求出∠A=∠DBE=∠DBC=30°，即可得出答案．

解答 证明：连接BD，
∵斜边AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，
∴∠BED=∠C=90°，AE=BE，AD=BD，
∴∠A=∠EBD，
∵AE=BC，
∴BC=BE，
在Rt△BED和Rt△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL），
∴∠DBC=∠DBE，
∵∠A=∠EBD，
∴∠A=∠DBE=∠DBC，
∵∠C=90°，
∴3∠A=90°，
∴∠A=∠DBE=∠DBC=30°，
∴AD=BD=2CD．

点评 本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，能求出Rt△BED≌Rt△BCD是解此题的关键．