Question

5．如图，菱形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，∠DAB=60°，若将菱形ABCD沿AB翻折得到菱形ABC′D′，D′点恰好落在x轴上，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）恰好经过点C和C′，过C作CE垂直C′B的延长线于E，连接CC′，已知S_△CEC′=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，则k的值是（　　）

• A． 3
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． 6$\sqrt{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 连接CA，连接DE，过D、C′分别作DM⊥x轴，C′N⊥x轴，根据菱形的性质可得AB=BC=AD=DC，DB⊥AC，CE=AE=$\frac{1}{2}$AC，DE=EB=$\frac{1}{2}$DB，再由∠DAB=60°证明△ABD是等边三角形，可得BD=AB=BC′，设菱形边长为x，则EB=$\frac{1}{2}$x，CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，根据S_△CEC′=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求出x的值，然后可得C和C′的纵坐标，设C（a，2$\sqrt{3}$），则有C′（a+3，$\sqrt{3}$），利用反比例函数图象上点的坐标特点可得2$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$（a+3），计算出a的值，进而可得k的值．

解答 解：连接CA，连接DE，过D、C′分别作DM⊥x轴，C′N⊥x轴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=DC，DB⊥AC，CE=AE=$\frac{1}{2}$AC，DE=EB=$\frac{1}{2}$DB，
∵将菱形ABCD沿AB翻折，得到菱形ABC′D′，
∴两菱形全等，即AD′=BC′=C′D′=AB，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=BC′，
设菱形边长为x，则EB=$\frac{1}{2}$x，CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴EC′=$\frac{3}{2}$x，
∵S_△CEC′=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x•$\frac{3}{2}$x=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
解得：x=2，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAM=∠C′D′N=60°
∴AM=D′N=1，
根据勾股定理得：DM=C′N=$\sqrt{3}$，即CW过点E，
设C（a，2$\sqrt{3}$），则有C′（a+3，$\sqrt{3}$），
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）恰好经过点C和C′，
∴2$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$（a+3），
解得：a=3，
则k=3×2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 此题主要考查了折叠的性质，菱形的性质，坐标与图形性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直且平分，反比例函数图象上的点横纵坐标的积等于k．