Question

14．观察下列关于自然数的等式：
2×4-1²+1=8
3×5-2²+1=12
4×6-3²+1=16
5×7-4²+1=20
…
利用等式的规律，解答下列问题：
（1）若等式8×10-a²+1=b（a，b都为自然数）具有以上规律，则a=7，a+b=39．
（2）写出第n个等式（用含n的代数式表示），并验证它的正确性．

Answer 1

分析 （1）等式左边第一个因数比幂底数大1、第二个因数比幂的底数大3，而等式右边是第一个因数的4倍．
（2）用n表示幂的底数，第一、二两因数为（n+1）、（n+3），而等式右边则为4（n+1），可得等式．

解答 解：（1）以上等式的规律是：
等式左边第一个因数比幂底数大1、第二个因数比幂的底数大3，而等式右边是第一个因数的4倍；
∵8×10-a²+1=b，
∴a=8-1=7，b=4×8=32；
则a+b=39，
所以答案为：7，39．
（2）第n个等式为：（n+1）（n+3）-n²+1=4（n+1）；
∵左边=n²+3n+n+3-n²+1
=4n+4
=4（n+1）=右边
∴等式成立．

点评 本题主要考查数字变化规律及数字间的联系，并涉及整式的化简运算能力．