Question

11．如图，已知正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接AE，以AE为边作正方形AEF0，使得点F在CD边上，连接DG，
（1）求证：BE=DG；
（2）若AB=4，BE=$\sqrt{2}$，求tan∠GFD的值．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=45°，AE=AG，∠EAG=90°，得出∠BAE=∠DAG，由SAS证明△ABE≌△ADG，得出∠ADG=∠ABD=45°，BE=DG；
（2）作GH⊥CD交CD延长线于点H，GT⊥AD于点I，证出四边形DHGI为正方形，得出DH=HG=1，AI=3，由勾股定理求出AG，得出FG，由勾股定理求出FH，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=45°，
∵四边形AEFG为正方形，
∴AE=AG，∠EAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAG}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠ADG=∠ABD=45°，BE=DG；
（2）解：作GH⊥CD交CD延长线于点H，GT⊥AD于点I，如图所示：
∵∠ADC=∠ADH=90°，
∴四边形DHGI为矩形，
∵∠ADG=45°，
∴∠GDH=45°，
∴GI=GH，
∴四边形DHGI为正方形，
∵DG=BE=$\sqrt{2}$，
∴DH=HG=1，
∴ID=IG=1，
∵AB=4，
∴AI=4-1=3，
∴AG=$\sqrt{A{I}^{2}+I{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴FG=$\sqrt{10}$，FH=$\sqrt{F{G}^{2}-H{G}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-{1}^{2}}$=3，
∴tan∠GFD=$\frac{HG}{FH}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要证明四边形是正方形和多次运用勾股定理才能得出结果．