Question

2．如图，已知OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．
 求证：（1）PO平分∠APB；
        （2）OP是AB的垂直平分线．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质得到PA=PB，证明Rt△AOP≌Rt△BOP，根据全等三角形的性质证明；
（2）根据线段垂直平分线的判定定理证明即可．

解答 证明：（1）∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴PA=PB，
在Rt△AOP和Rt△BOP中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP，
∴∠APO=∠BPO，即PO平分∠APB；
（2）∵Rt△AOP≌Rt△BOP，
∴OA=OB，又PA=PB，
∴OP是AB的垂直平分线．

点评 本题考查的是线段垂直平分线的判定和角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到线段两端点的距离相等在线段垂直平分线上是解题的关键．