Question

已知：如图，在△ABC中，∠C=Rt∠，AB=10cm，BC=6cm，点P从点C开始沿边CB以2cm/s的速度向点B移动，与此同时，点Q从点A开始沿边AC以1cm/s的速度向点C移动，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．若设移动时间为t秒．
（1）当t=1时，求PQ的长；
（2）在整个移动过程中，是否存在某一时刻t，使直线PQ平分△ABC的面积？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在整个移动过程中，当t=

 

秒时，P、Q两点相距最近，最近的距离是

 

cm．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）利用勾股定理求得AC的长，在直角△CPQ中利用勾股定理即可求解；
（2）直线PQ平分△ABC的面积，则S_△CPQ=

1

2

S_△ABC，据此即可列方程求得t的值；
（3）根据勾股定理，利用t表示出PQ²的长，然后根据函数的性质即可求解．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，AC=

102-62

=8，
则当t=1时，CP=2，CQ=AC-AQ=7，
∴PQ=

72+22

=

53

（cm）；
（2）假设存在，则

1

2

×2t×(8-t)=

1

2

×

1

2

×6×8，
解得：t₁=2，t₂=6，
因为0≤t≤3，所以存在，此时t=2．
（3）PQ²=（2t）²+（8-t）²=5t²-16t+64，
则t=-

-16

10

=

8

5

时，PQ²取得最小值，是

4×5×64-162

20

=

256

5

，则PQ的最小值是

256 5

=

16 5

5

．
故答案是：

8

5

，

16

5

5

．

点评：本题考查了勾股定理以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解决实际问题中的最值问题．