Question

20．将一副三角尺按如图所示放置在坐标系内，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过直角顶点A，且交AB边于点C，已知点C的横坐标比点A的横坐标大4．
（1）设点A的横坐标为a，则OB的长为4a（用含a的代数式表示）；
（2）另一个直角顶点D的坐标为（6，4）．

Answer 1

分析 （1）过A作AE⊥OB于E，得到OE=a，解直角三角形即可得到结论；
（2）过D作DF⊥OB于F，A作AG⊥DF于G，设A点的横坐标为m，则C点的横坐标为m+4，得到OE=m，EF=AG=4，根据全等三角形的性质得到DF=AG=4，根据A，C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，列方程即可得到结论．

解答 解：（1）过A作AE⊥OB于E，
则OE=a，
∵∠AOB=60°，
∴OA=2OE=2a，
∵∠OAB=90°，∠ABO=30°，
∴OB=2OA=4a；
故答案为：4a；

（2）过D作DF⊥OB于F，A作AG⊥DF于G，
设A点的横坐标为m，则C点的横坐标为m+4，
∴OE=m，EF=AG=4，
在△ADG与△DFB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠DBF=75°}\\{∠AGD=∠DFB=90°}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△BDF，
∴DF=AG=4，
∵A，C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，A（m，$\sqrt{3}$m），C（m+4，$\frac{\sqrt{3}（3m-4）}{3}$），
∴$\sqrt{3}$m²=（m+4）•$\frac{\sqrt{3}（3m-4）}{3}$，
∴m=2，
∴D（6，4）．
故答案为：（6，4）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．