Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜ ）．

（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为；
（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；
（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：
①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；
②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）

解：解：如图2中，作MT⊥BC于T．

∵MC=MQ，MT⊥CQ，

∴TC=TQ，

由（1）可知TQ= （8﹣5t），QM=3t，

∵MQ∥BD，

∴∠MQT=∠DBC，

∵∠MTQ=∠BCD=90°，

∴△QTM∽△BCD，

∴ ，

∴ ，

∴t= （s），

∴t= s时，△CMQ是以CQ为底的等腰三角形

（3）

解：①证明：如图2中，由此QM交CD于E，

∵EQ∥BD，

∴ = ，

∴EC= （8﹣5t），ED=DC﹣EC=6﹣ （8﹣5t）= t，

∵DO=3t，

∴DE﹣DO= t﹣3t= t＞0，

∴点O在直线QM左侧．

②解：如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．

∵EC= （8﹣5t），DO=3t，

∴OE=6﹣3t﹣ （8﹣5t）= t，

∵OH⊥MQ，

∴∠OHE=90°，

∵∠HEO=∠CEQ，

∴∠HOE=∠CQE=∠CBD，

∵∠OHE=∠C=90°，

∴△OHE∽△BCD，

∴ ，

∴ ，

∴t= ．

∴t= s时，⊙O与直线QM相切．

连接PM，假设PM与⊙O相切，则∠OMH= PMQ=22.5°，

在MH上取一点F，使得MF=FO，则∠FMO=∠FOM=22.5°，

∴∠OFH=∠FOH=45°，

∴OH=FH=0.8，FO=FM=0.8 ，

∴MH=0.8（ +1），

由 得到HE= ，

由 得到EQ= ，

∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣ ﹣ = ，

∴0.8（ +1）≠ ，矛盾，

∴假设不成立．

∴直线MQ与⊙O不相切．

【解析】（1）解：如图1中
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD=6．AD=BC=8，
∴BD= = =10，
∵PQ⊥BD，
∴∠BPQ=90°=∠C，
∵∠PBQ=∠DBC，
∴△PBQ∽△CBD，
∴ ，
∴ ，
∴PQ=3t，BQ=5t，
∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC，
∴QP=QC，
∴3t=6﹣5t，
∴t= ，
所以答案是 ．