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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,点P从点B出发,沿对角线BD向点D匀速运动,速度为4cm/s,过点P作PQ⊥BD交BC于点Q,以PQ为一边作正方形PQMN,使得点N落在射线PD上,点O从点D出发,沿DC向点C匀速运动,速度为3m/s,以O为圆心,0.8cm为半径作⊙O,点P与点O同时出发,设它们的运动时间为t(单位:s)(0<t< ).

(1)如图1,连接DQ平分∠BDC时,t的值为
(2)如图2,连接CM,若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形,求t的值;
(3)请你继续进行探究,并解答下列问题:
①证明:在运动过程中,点O始终在QM所在直线的左侧;
②如图3,在运动过程中,当QM与⊙O相切时,求t的值;并判断此时PM与⊙O是否也相切?说明理由.

【答案】
(1)
(2)

解:解:如图2中,作MT⊥BC于T.

∵MC=MQ,MT⊥CQ,

∴TC=TQ,

由(1)可知TQ= (8﹣5t),QM=3t,

∵MQ∥BD,

∴∠MQT=∠DBC,

∵∠MTQ=∠BCD=90°,

∴△QTM∽△BCD,

∴t= (s),

∴t= s时,△CMQ是以CQ为底的等腰三角形


(3)

解:①证明:如图2中,由此QM交CD于E,

∵EQ∥BD,

=

∴EC= (8﹣5t),ED=DC﹣EC=6﹣ (8﹣5t)= t,

∵DO=3t,

∴DE﹣DO= t﹣3t= t>0,

∴点O在直线QM左侧.

②解:如图3中,由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H,QM与CD交于点E.

∵EC= (8﹣5t),DO=3t,

∴OE=6﹣3t﹣ (8﹣5t)= t,

∵OH⊥MQ,

∴∠OHE=90°,

∵∠HEO=∠CEQ,

∴∠HOE=∠CQE=∠CBD,

∵∠OHE=∠C=90°,

∴△OHE∽△BCD,

∴t=

∴t= s时,⊙O与直线QM相切.

连接PM,假设PM与⊙O相切,则∠OMH= PMQ=22.5°,

在MH上取一点F,使得MF=FO,则∠FMO=∠FOM=22.5°,

∴∠OFH=∠FOH=45°,

∴OH=FH=0.8,FO=FM=0.8

∴MH=0.8( +1),

得到HE=

得到EQ=

∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣ =

∴0.8( +1)≠ ,矛盾,

∴假设不成立.

∴直线MQ与⊙O不相切.


【解析】(1)解:如图1中

∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°,AB=CD=6.AD=BC=8,
∴BD= = =10,
∵PQ⊥BD,
∴∠BPQ=90°=∠C,
∵∠PBQ=∠DBC,
∴△PBQ∽△CBD,


∴PQ=3t,BQ=5t,
∵DQ平分∠BDC,QP⊥DB,QC⊥DC,
∴QP=QC,
∴3t=6﹣5t,
∴t=
所以答案是

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星期

增减/

﹣1

+3

﹣2

+4

+7

﹣5

﹣10

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候选教师

丁老师

俞老师

李老师

陈老师

得票数

200

300


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