Question

【题目】如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）1

【解析】试题分析：（1）连接OD，根据等边三角形的性质求出∠ODE=90°，根据切线的判定定理证明即可；

（2）连接AD，BF，根据等边三角形的性质求出DC、CF，根据直角三角形的性质求出EC，结合图形计算即可．

试题解析：（1）如图1，连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．

∵OB=OD，∴∠ODB=∠B=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°．

∴∠EDC=30°．∴∠ODE=90°．∴DE⊥OD于点D．∵点D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切线；

（2）如图2，连接AD，BF，∵AB为⊙O直径，∴∠AFB=∠ADB=90°．∴AF⊥BF，AD⊥BD．

∵△ABC是等边三角形，∴，．

∵∠EDC=30°，∴．∴FE=FC﹣EC=1．