Question

11．如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中
A型：边长为a厘米的正方形；
B型：长为a厘米，宽为1厘米的长方形；
C型：边长为1厘米的正方形．
（1）现有A型2块，B型4块，C型4块，此时这10张纸板的总面积为多少平方厘米？
（2）从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．则这个大正方形的边长为多少厘米？
（3）从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的边长为多少厘米？

Answer 1

分析 （1）由于1块A型的面积为a²平方厘米，1块B型的面积为a平方厘米，1块C型的面积为1平方厘米，所以A型2块，B型4块，C型4块的总面积为（2a²+4a+4）平方厘米；
（2）把2a²+4a+4减去a²，然后根据完全平方公式得到a²+4a+4=（a+2）²，由此得到正方形的边长；
（3）把2a²+4a+4减去2，然后根据完全平方公式得到2a²+4a+2=2（a+1）²，由此得到正方形的边长，所以从这10块纸板中拿掉2块C类型的纸板满足要求．

解答 解：（1）1块A型的面积为a²平方厘米，1块B型的面积为a平方厘米，1块C型的面积为1平方厘米，所以A型2块，B型4块，C型4块的总面积为（2a²+4a+4）平方厘米；

（2）从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．剩下纸板的总面积为2a²+4a+4-a²=a²+4a+4，而a²+4a+4=（a+2）²，则此正方形的边长为（a+2）厘米；

（3）从这10块纸板中拿掉2块C类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形．理由如下：
2a²+4a+4-2=2a²+4a+2=2（a²+2a+1）=2（a+1）²，此时正方形的边长为（a+1）厘米．

点评 本题考查了完全平方公式的几何背景：运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．