Question

16．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，CD与OP相交于点Q．求证：CQ=DQ．

Answer 1

分析 根据角平分线的性质得到PC=PD，根据直角三角形全等的判定得到Rt△0CP≌Rt△ODP，得到OC=0D，根据线段垂直平分线的判定证明OP垂直平分CD，得到答案．

解答 解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD，
∴点P在线段CD的垂直平分线上，
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
$\left\{\begin{array}{l}{PC=PD}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP，
∴OC=OD，
∴点O在线段CD的垂直平分线上，
∴OP垂直平分CD，
∴CQ=DQ．

点评 本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的判定和直角三角形全等的判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．