Question

【题目】将直角边长为的等腰直角放在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点、分别在轴，轴的正半轴上，一条抛物线经过点、及点．

求该抛物线的解析式；

若点是线段上一动点，过点作的平行线交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；

若点在抛物线上，则称点为抛物线的不动点，将中的抛物线进行平移，平移后，该抛物线只有一个不动点，且顶点在直线上，求此时抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】； ；

【解析】

（1）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，所以设抛物线方程为两点式：y=a（x+3）（x﹣6），然后把点A的坐标代入该函数解析式即可求得系数a的值；

（2）利用相似三角形的性质得出S△PCE=，进而求出△APE的面积S，即可得出点P坐标；

（3）利用抛物线上不动点的定义以及不动点的个数得出方程h﹣k=①，再用平移后的抛物线的顶点在直线y=2x﹣上，得出方程k=2h﹣②，联立解方程组即可．

（1）∵B（﹣3，0），C（6，0），设抛物线为y=a（x+3）（x﹣6）．

∵抛物线过A（0，6），∴6=a（0+3）（0﹣6），解得：a=﹣，∴y=﹣（x+3）（x﹣6），即y=﹣x2+x+6；

（2）设P（m，0），如图，∵PE∥AB，∴△PCE∽△BCA，∴，∴S△PCE=，∴S=S△APC﹣S△PCE==﹣m2+m+6=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，S有最大值为，∴P（，0）；

（3）设平移后的抛物线的顶点为G（h，k），∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣h）2+k，由抛物线的不动点的定义，得：t=﹣（t﹣h）2+k，即：t2+（3﹣2h）t+h2﹣3k=0．

∵平移后，抛物线只有一个不动点，∴此方程有两个相等的实数根，∴△=（3﹣2h）2﹣4（h2﹣3k）=0，∴h﹣k=①．

∵顶点在直线y=2x﹣上，∴k=2h﹣②，∴联立①②得：h=1，k=，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+=﹣x2+x﹣．