Question

【题目】如图，AD是△ABC的角平分线，点F、E分别在边AC、AB上，连接DE、DF，且∠AFD+∠B＝180°．

（1）求证：BD＝FD；

（2）当AF+FD＝AE时，求证：∠AFD＝2∠AED．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，由角平分线的性质得DM＝DN，角角边证明△DMB≌△DNF，由全等三角形的性质求得BD＝FD；

（2）在AB上截取AG＝AF，连接DG．由边角边证△ADF≌△ADG，根据全等三角形的性质得FD＝GD，∠AFD＝∠AGD，因AF+FD＝AE，AE＝AG+GE得FD＝GD＝GE，由等腰三角形等边对等角和三角形的外角定理得∠AGD＝2∠GED，等量代换得∠AFD＝2∠AED．

证明：（1）过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，

如图1所示：

∵DM⊥AB，DN⊥AC，

∴∠DMB＝∠DNF＝90°，

又∵AD平分∠BAC，

∴DM＝DN，

又∵∠AFD+∠B＝180°，

∠AFD+∠DFN＝180°，

∴∠B＝∠DFN，

在△DMB和△DNF中，

∴△DMB≌△DNF（AAS）

∴BD＝FD；

（2）在AB上截取AG＝AF，连接DG．

如图2所示，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAF＝∠DAG，

在△ADF和△ADG中．

，

∴△ADF≌△ADG（SAS）．

∴∠AFD＝∠AGD，FD＝GD

又∵AF+FD＝AE，

∴AG+GD＝AE，

又∵AE＝AG+GE，

∴FD＝GD＝GE，

∴∠GDE＝∠GED，

又∵∠AGD＝∠GED+∠GDE＝2∠GED，

∴∠AFD＝2∠AED．