Question

8．如图，抛物线y=-x²-2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）在第二象限内的抛物线有一点P，当四边形OBPC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在y轴上有一点N（0，n），当∠ANB≤45°，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=0即可求出y的值，即可求出点C的坐标；令y=0，解一元二次方程，求出x的值，进而求出点A和点B的坐标；
（2）首先求出直线BC的解析式，根据题意可知当△PBC的面积最大时，四边形OPBC的面积最大，设P（m，-m²-2m+3），则D（m，m+3），用m表示出DP的长，根据二次函数的性质求出答案；
（3）在y轴的正半轴上的点N，使得∠BNA=45°，设△BAN的外接圆的圆心为M，则点M在抛物线的对称轴上，且MA=MB=MN，过点M作ME⊥y轴于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点F，根据勾股定理的知识求出点N的坐标；同理可求出在y轴负半轴上N′的坐标，据此求出满足题意n的取值范围．

解答 解：（1）抛物线y=-x²-2x+3，
当x=0时，y=3，
则点C（0，3），
当y=0时，即y=-x²-2x+3=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
故点A（1，0），B（-3，0）；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+n，
∵直线BC经过点C（0，3）、B（-3，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{-3k+n=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x+3，
根据题意可知，当△PBC的面积最大时，四边形OPBC的面积最大，
如图1，过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D，
这时S_△PBC=$\frac{1}{2}$PD×OB=$\frac{3}{2}$PD，
设P（m，-m²-2m+3），则D（m，m+3），
∴DP=-m²-2m+3-（m+3）
=-（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当m=-$\frac{3}{2}$时，DP取得最大值，△PBC的面积最大，
∴当四边形OPBC的面积最大，点P（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
（3）如图2，在y轴的正半轴上的点N，使得∠BNA=45°，
设△BAN的外接圆的圆心为M，则点M在抛物线的对称轴上，且MA=MB=MN，过点M作ME⊥y轴于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点F，
∵∠BMA=2∠BNA=90°，
∴MF=BF=AF=$\frac{1}{2}$AB=2，ME=OF=1，
∴MN=MB=2$\sqrt{2}$，
在Rt△DFB中，
NE=$\sqrt{M{N}^{2}-M{E}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴ON=OE+EN=MF+EN=2+$\sqrt{7}$，
∴N（0，2+$\sqrt{7}$），
同理，在y轴的负半轴上的点N′，当∠BN′A=45°，点N′（0，-2-$\sqrt{7}$），
于是当∠ANB≤45°时，n≥2+$\sqrt{7}$或n≤-2-$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题，此题涉及到待定系数法求函数关系式，二次函数的性质、三角形面积的求法、外接圆以及勾股定理的知识，解答（2）问的用m表示出DP的长，解答（3）问的关键是作出△BAN外接圆的圆心M，此题有一定的难度．