Question

3．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等．
问：（1）在离A站多少km处？
（2）判定三角形DEC的形状．

Answer 1

分析 （1）根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE=CE，再根据△DAE≌△EBC，得出AE=BC=10km；
（2）三角形DEC的形状是直角三角形，利用△DAE≌△EBC，得出∠DEC=90°，进而可以证明．

解答 解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE=CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AE²+AD²=DE²，BE²+BC²=EC²，
∴AE²+AD²=BE²+BC²，
设AE=x，则BE=AB-AE=（25-x），
∵DA=15km，CB=10km，
∴x²+15²=（25-x）²+10²，
解得：x=10，
∴AE=10km；
（2）△DEC是直角三角形，理由如下：
∵△DAE≌△EBC，
∴∠DEA=∠ECB，∠ADE=∠CEB，
∠DEA+∠D=90°，
∴∠DEA+∠CEB=90°，
∴∠DEC=90°，
即△DEC是直角三角形．

点评 此题主要考查了勾股定理的应用和三角形全等的证明，证明线段相等利用全等得出△DAE≌△EBC是解决问题的关键．