Question

3．①若点A、B、C在数轴上分别表示-1、4、c，且点C到点A、B的距离之和是7，则c=5或-2；
②关于x的方程|x-m|+|x-n|=k（m＞n，k＞0），借助数轴探究方程的解的情况，直接写出结论．

Answer 1

分析 ①根据条件画出图形，分两种情况：i）当C在B的右侧时，如图1，有AC+BC=7；ii）当C在A的左侧时，如图2，分别列式得出结论；
②先计算方程的最小值，当x在m和n之间时，k最小，最小值就是m和n的距离m-n，把k分三种情况讨论：当0＜k＜m-n时，原方程无解；当k=m-n时，解为：n≤x≤m，当k＞m-n时，分x在m的右侧和n的左侧讨论，列式得出方程的解．

解答 解：①∵点A、B在数轴上分别表示-1、4，
∴AB=5，
∵点C到点A、B的距离之和是7，
∴C不可能在A、B之间，
分两种情况：i）当C在B的右侧时，如图1，有AC+BC=7，
则c+1+c-4=7，
c=5；
ii）当C在A的左侧时，如图2，有AC+BC=7，
则-1-c+4-c=7，
c=-2，
综上所述，c的值为5或-2；
故答案为：5或-2；
②由题意可知：|x-m|+|x-n|的最小值为|m-n|=m-n，
当0＜k＜m-n时，原方程无解；
当k=m-n时，原方程的解为：n≤x≤m，如图3，
当k＞m-n时，分两种情况：i）当x＞m时，如图4，x-m+x-n=k，
2x=k+m+n，
x=$\frac{1}{2}$（k+m+n），
ii）当x＜n时，如图5，m-x+n-x=k，
2x=m+n-k，
x=$\frac{1}{2}$（m+n-k），
此时原方程的解为：x₁=$\frac{1}{2}$（k+m+n），x₂=$\frac{1}{2}$（m+n-k）．

点评 本题考查了数轴上两点的距离与绝对值的关系，知道数轴上两点的距离等于两点坐标之差的绝对值，且某点A到另外两点B和C的距离和有最小值，最小值是该点A在这两点之间时，即最小值为BC的长．