Question

如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为________．

Answer 1

分析：由题意可知，OE为对角线AC的中垂线，则CE=AE=5，S_△AEC=2S_△AOE=10，由S_△AEC求出线段AE的长度，进而在Rt△BCE中，由勾股定理求出线段BE的长度；然后证明∠BOE=∠BCE，从而可求得结果．
解答：解：如图，连接EC．
由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线，
∴CE=AE，S_△AOE=S_△COE=5，
∴S_△AEC=2S_△AOE=10．
∴AE•BC=10，又BC=4，
∴AE=5，
∴EC=5．
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE===3．
∵∠EBC+∠EOC=90°+90°=180°，
∴B、C、O、E四点共圆，
∴∠BOE=∠BCE．
（另解：∵∠AEO+∠EAO=90°，∠AEO=∠BOE+∠ABO，
∴∠BOE+∠ABO+∠EAO=90°，又∠ABO=90°-∠OBC=90°-（∠BCE+∠ECO）
∴∠BOE+（90°-（∠BCE+∠ECO））+∠EAO=90°，
化简得：∠BOE-∠BCE-∠ECO+∠EAO=0
∵OE为AC中垂线，
∴∠EAO=∠ECO．
代入上式得：∠BOE=∠BCE．
∴sin∠BOE=sin∠BCE=．
故答案为：．
点评：本题是几何综合题，考查了矩形性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆周角、三角函数的定义等知识点，有一定的难度．解题要点有两个：（1）求出线段AE的长度；（2）证明∠BOE=∠BCE．