Question

4．如图，在△ABC中，∠C=90°，用直尺和圆规作BC的垂直平分线l，交斜边AB于点O．
（1）猜想：点O是AB的什么特殊点？证明你的猜想；
（2）点O在AC的垂直平分线上吗？说明理由；
（3）结合（1）（2），你有何发现？

Answer 1

分析 （1）根据线段的垂直平分线的性质得到OC=OB，根据等腰三角形的性质得到OA=OC，证明结论；
（2）根据线段的垂直平分线的判定定理即可证明；
（3）根据（1）（2）的结论进行归纳即可．

解答 解：（1）点O是AB的中点，
证明：∵OE是线段AB的垂直平分线，
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠OCB+∠OCA=90°，∠OBC+∠A=90°，
∴∠OCA=∠A，
∴OA=OC，又OC=OB，
∴OA=OB，
∴点O是AB的中点；
（2）∵OA=OC，
∴点O在AC的垂直平分线上；
（3）结合（1）（2）可知，直角三角形三边的垂直平分线相交于斜边的中点．

点评 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．