Question

8．观察下列各式：
$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$，…
（1）猜想：$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}…×\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}$；
（2）根据上面的规律，解答下列问题：
①计算：（$\frac{1}{100}-1$）×（$\frac{1}{99}-1$）×（$\frac{1}{98}-1$）×…×（$\frac{1}{4}-1$）×（$\frac{1}{3}-1$）×（$\frac{1}{2}-1$）=$\frac{1}{100}$；
②将2012减去它的$\frac{1}{2}$，再减去余下的$\frac{1}{3}$，再减去余下的$\frac{1}{4}$，再减去余下的$\frac{1}{5}$，依此类推，知道最后减去余下的$\frac{1}{2012}$，最后的结果是多少？

Answer 1

分析 （1）约分计算即可求解；
（2）①先算括号里面的减法，再约分计算即可求解；
②根据题意列出算式2012×（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{3}$）×…×（1-$\frac{1}{2012}$），再先算括号里面的减法，再约分计算即可求解．

解答 解：（1）猜想：$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}…×\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}$；
（2）①（$\frac{1}{100}-1$）×（$\frac{1}{99}-1$）×（$\frac{1}{98}-1$）×…×（$\frac{1}{4}-1$）×（$\frac{1}{3}-1$）×（$\frac{1}{2}-1$）
=$\frac{99}{100}$×$\frac{98}{99}$×$\frac{97}{98}$×…×$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{100}$；
②依题意有
2012×（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{3}$）×…×（1-$\frac{1}{2012}$）
=2012×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×…×$\frac{2011}{2012}$
=1．
故答案为：$\frac{1}{n+1}$；$\frac{1}{100}$．

点评 此题考查了有理数的混合运算，第（3）问根据题意列出算式是解本题的关键．