Question

如图,已知抛物线与坐标轴交于三点,点的横坐标为,过点的直线与轴交于点,点是线段上的一个动点,于点．若,且．

（1）求的值
（2）求出点的坐标（其中用含的式子表示）：
（3）依点的变化,是否存在的值,使为等腰三角形？

Answer 1

(1)b=,c=3;
(2)B（4,0）,P（4﹣4t,3t）,Q（4t,0）;
(3)当t=或或时,△PQB为等腰三角形．

试题分析：（1）将A、C的坐标代入抛物线中即可求得待定系数的值．
（2）根据抛物线的解析式可求得B点的坐标,即可求出OB,BC的长,在直角三角形BPH中,可根据BP的长和∠CBO三角函数求出PH,BH的长,进而可求出OH的长,也就求出了P点的坐标．Q点的坐标,可直接由直线CQ的解析式求得．
（3）本题要分情况讨论：
①PQ=PB,此时BH=QH=BQ,在（2）中已经求得了BH的长,BQ的长可根据B、Q点的坐标求得,据此可求出t的值．
②PB=BQ,那么BQ=BP=5t,由此可求出t的值．
③PQ=BQ,已经求得了BH的长,可表示出QH的长,然后在直角三角形PQH中,用BQ的表达式表示出PQ,即可用勾股定理求出t的值．
试题解析：（1）已知抛物线过A（﹣1,0）、C（0,3）,则有：
,
解得,
因此b=,c=3;
（2）令抛物线的解析式中y=0,则有﹣x²+ x+3=0,
解得x=﹣1,x=4;
∴B（4,0）,OB=4,
因此BC=5,
在直角三角形OBC中,OB=4,OC=3,BC=5,
∴sin∠CBO=,cos∠CBO=,
在直角三角形BHP中,BP=5t,
因此PH=3t,BH=4t;
∴OH=OB﹣BH=4﹣4t,
因此P（4﹣4t,3t）．
令直线的解析式中y=0,则有0=﹣x+3,x=4t,
∴Q（4t,0）;
（3）存在t的值,有以下三种情况
①如图1,当PQ=PB时,
∵PH⊥OB,则QH=HB,
∴4﹣4t﹣4t=4t,
∴t=,
②当PB=QB得4﹣4t=5t,
∴t=,
③当PQ=QB时,在Rt△PHQ中有QH²+PH²=PQ²,
∴（8t﹣4）²+（3t）²=（4﹣4t）²,
∴57t²﹣32t=0,
∴t=,t=0（舍去）,
又∵0＜t＜1,
∴当t=或或时,△PQB为等腰三角形．