Question

已知：如图所示，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）．
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，求M点坐标．

Answer 1

解：（1）∵点A（3，2）为正比例函数与反比例函数的交点，
∴将x=3，y=2代入正比例解析式y=ax得：3a=2，解得：a=，
将x=3，y=2代入反比例解析式y=得：=2，解得：k=6，
∴正比例函数解析式为y=x，反比例函数解析式为y=；

（2）过M作MN⊥x轴于N点．
∵M（m，n）（0＜m＜3）是反比例函数图象上的一动点，且四边形OCDB为矩形，
∴mn=6，BM=m，BO=DC=MN=n，
又A（3，2），
∴AC=2，OC=3，又mn=6，
∴S_{四边形OADM}=S_矩形OCDB-S_△BMO-S_△AOC=3n-mn-×2×3=3n-6=6，
解得：n=4，
由mn=6，得到4m=6，解得：m=，
则M坐标为（，4）．
分析：（1）由点A为正比例与反比例函数图象的交点，将A点坐标代入正比例函数y=ax中，求出a的值，确定出正比例函数的解析式，将A点坐标代入反比例函数y=中，求出k的值，确定出反比例函数的解析式；
（2）过M作MN垂直于x轴，由M为反比例函数上的点，将M的坐标代入反比例函数解析式中求出mn=6，同时由三个角为直角的四边形为矩形，得到四边形BOCD为矩形，根据矩形的对边相等可得出BO=DC，又BMNO为矩形，得到MN=BO，由M的纵坐标为n，得到MN=BO=DC=n，横坐标为m，得到BM=m，由A的坐标得出AC及OC的长，四边形OADM的面积=矩形BOCD的面积-三角形BMO的面积-三角形AOC的面积，利用矩形及三角形的面积公式分别表示出各自的面积，将mn=6及四边形OADM的面积为6代入，得出关于n的方程，求出方程的解得到n的值，进而求出m的值，即可确定出M的坐标．
点评：此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：反比例函数与一次函数的交点，矩形的判定与性质，以及点与坐标的关系，利用了数形结合及方程的思想，是中考中常考的题型．