Question

已知二次函数图象过A、B、C三点，A（-1，0），B（4，0），C在y轴正半轴上，且AB=OC．
（1）求C点的坐标．
（2）函数表达式及最大值．
（3）抛物线上是否有点P，使S_△PAB=S_△CAB？求点P的坐标．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征

专题：计算题

分析：（1）由A与B的坐标确定出AB的长，即为OC的长，确定出C坐标即可；
（2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），把C坐标代入求出a的值，确定出解析式，利用二次函数性质求出最大值即可；
（3）求出三角形ABC面积，设P纵坐标为b，根据三角形PAB与三角形CAB面积相等求出b的值，即可确定出P的坐标．

解答：解：（1）∵A（-1，0），B（4，0），
∴AB=OC=5，
则C（0，5）；
（2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
把C（0，5）代入得：5=-4a，
解得：a=-

5

4

，
∴函数解析式为y=-

5

4

（x+1）（x-4）=-

5

4

x²+

15

4

x+5=-

5

4

（x-

3

2

）²+

125

16

，
则当x=

3

2

时，函数y的最大值为

125

16

；
（3）设P纵坐标为b，
根据S_△PAB=S_△CAB，得：

1

2

AB•C_纵坐标=

1

2

AB•|b|，即|b|=5，
解得：b=5或b=-5，
把y=5代入抛物线解析式得：5=-

5

4

x²+

15

4

x+5，
解得：x=0（舍去）或x=3，
此时P坐标为（3，5）；
把y=-5代入抛物线解析式得：-5=-

5

4

x²+

15

4

x+5，
解得：x=

3± 41

2

，
此时P坐标为（

3+ 41

2

，5）或（

3- 41

2

，5）．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．