Question

20．如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AB=8，AD=6．
（1）求$\frac{DE}{DF}$的值；
（2）若∠A=60°，求△EDF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据DE⊥AB，DF⊥BC，运用面积法列出DE×AB=DF×AD，即可求得$\frac{DE}{DF}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$；
（2）先作EG⊥DF于G，根据含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，求得EG和DF的长，最后计算△EDF的面积．

解答 解：（1）∵平行四边形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE×AB=DF×AD，
∵AB=8，AD=6，
∴8DE=6DF，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$；

（2）作EG⊥DF于G，则EG∥AD
∵DF⊥BC，∠A=60°，
∴∠ADF=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=3，
∴Rt△ADE中，DE=3$\sqrt{3}$，
∵∠DEG=∠ADE=30°，
∴DG=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
∴Rt△DEG中，EG=$\frac{9}{2}$，
∵Rt△CDF中，CD=8，∠C=60°，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=4，
∴DF=4$\sqrt{3}$，
∴△EDF的面积=$\frac{1}{2}$×DF×EG=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×$\frac{9}{2}$=9$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．