Question

【题目】如图，已知OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（　　）

A.3B.4C.5D.6

Answer 1

【答案】C

【解析】

过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则OB＝．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．

解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图：

∵四边形OABC是平行四边形，

∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，

∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴，

∴AM∥CN，

∴四边形ANCM是平行四边形，

∴∠MAN＝∠NCM，

∴∠OAF＝∠BCD，

∵∠OFA＝∠BDC＝90°，

∴∠FOA＝∠DBC，

在△OAF和△BCD中，

，

∴△OAF≌△BCD．

∴BD＝OF＝1，

∴OE＝4+1＝5，

∴OB＝．

由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝5．

故选：C．