Question

5．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A，B，与y轴交于点C（0，-3），对称轴为x=-2，
（1）求抛物线的解析式；
（2）连BC，点P在直线BC上方的抛物线上，过P点作直线l，使l∥BC且点P到BC的距离最远，求直线l的解析式．

Answer 1

分析 （1）抛物线与y轴交于点C（0，-3），故此c=-3，然后根据对称轴为x=-2可求得b=-4；
（2）先求得BC的解析式，然后设出l的解析式，根据抛物线与直线l只有一个公共点可求得l的解析式．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与y轴交于点C（0，-3），
∴C=-3．
∵抛物线对称轴为x=-2，
∴-$\frac{b}{2×（-1）}$=-2．
解得：b=-4．
∴抛物线的解析式为y=-x²-4x-3．
（2）令y=0得：x²+4x+3=0，
解得：x=-1或x=-3．
∴点B的坐标为（-3，0）．
设BC的解析式为y=kx-3，将点B的坐标代入得：k=-1．
∵l∥BC，
∴l的解析式为y=-x+b．
将y=-x+b与y=-x²-4x-3联立得：x²+4x+3=x-b．
整理得：x²+3x+3+b=0．
△=3²-4（3+b）=0．
解得：b=-$\frac{3}{4}$．
∴直线l的解析式为y=-x-$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查的是抛物线与x轴的交点问题，将函数问题转化为方程问题是解题的关键．