Question

13．抛物线y=ax²-5ax+3与y轴交于点A，点B是抛物线上的一点．且AB∥x轴．点C是抛物线与x轴的一个公共点，若△ABC是等腰三角形，则a=$\frac{12}{25}$或$\frac{3}{4}$或-$\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 分类讨论，①点C在对称轴上，②开口向上，且AB=AC或AB=BC；③开口向下，且AB=AC或AB=BC；分别求出a的值即可解题．

解答 解：存在3种情况，①如图1，此时a＞0，

此时抛物线与x轴只有一个交点，AC=BC，
此时△=0，解得：a=$\frac{12}{25}$，（符合题意）；
②此时AB=BC=5或AB=AC′=5，

∵OA=3，∴此时点C坐标为（1，0）或（4，0），
带入C点坐标得：a=$\frac{3}{4}$；
③此时BC=AB=5或AB=AC′=5，此时a＜0，

∵BD=AO=3，BC=5，∴CD=$\sqrt{{BC}^{2}{-BD}^{2}}$=4，
∴点C坐标为（9，0）或（-4，0），带入点C坐标得：a=-$\frac{1}{12}$，（符合题意）
故答案为 $\frac{12}{25}$或$\frac{3}{4}$或-$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查了分类讨论思想，考查了代入法求抛物线解析式的方法，本题容易漏解，找到3种情况并分别求出a的值是解题的关键．