Question

18．已知点A（1，2）、点 B在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，过B作BC⊥x轴于点C，如图，P是y轴上一点，
（1）求k的值及△PBC的面积；
（2）设点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）（x₂＞x₁＞0）是双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上的任意两点，s=$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$，t=$\frac{4}{{{x_1}+{x_2}}}$，试判断s与t的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得k的值；设B的坐标是（m，n）则mn=2，BC=n，OC=m，利用三角形的面积公式求解；
（2）把y₁和y₂用x₁和x₂表示出来，然后求s-t的值，对式子进行变形判断s-t的符号即可．

解答 解：（1）把A（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$得k=2； 
设B的坐标是（m，n）则mn=2，BC=n，OC=m．
则S_△PBC=$\frac{1}{2}$BC•OC=$\frac{1}{2}$mn=1；
（2）s＞t； 
理由：∵s-t═$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}-\frac{4}{{{x_1}+{x_2}}}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}•{x_2}}}-\frac{4}{{{x_1}+{x_2}}}$=$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}-\frac{4}{{{x_1}+{x_2}}}$
═$\frac{{\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}}}{2}-\frac{4}{{{x_1}+{x_2}}}$═$\frac{{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}•x}}{{{x_1}•{x_2}•（{{x_1}+{x_2}}）}}$=$\frac{{{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}}}{{{x_1}•{x_2}•（{{x_1}+{x_2}}）}}$，
∵x₂＞x₁＞0，∴${（{{x_1}-{x_2}}）^2}$＞0，x₁•x₂•（x₁+x₂）＞0，
∴$\frac{{{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}}}{{{x_1}•{x_2}•（{{x_1}+{x_2}}）}}＞0$；
∴s＞t．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及比较分式的值的大小，常用的方法一般是转化为求差，判断差的符号解决．