Question

20．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE=1，长为$\sqrt{2}$的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值是$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意得出作EF∥AC且EF=$\sqrt{2}$，连结DF交AC于M，在AC上截取MN=$\sqrt{2}$，此时四边形BMNE的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案．

解答 解：作EF∥AC且EF=$\sqrt{2}$，连结DF交AC于M，在AC上截取MN=$\sqrt{2}$，延长DF交BC于P，作FQ⊥BC于Q，作出点E关于AC的对称点E′，则CE′=CE=1，将MN平移至E′F′处，则四边形MNE′F′为平行四边形，
则当BM+EN=BM+FM=BF′时四边形BMNE的周长最小，
由∠FEQ=∠ACB=45°，可求得FQ=EQ=1，
∵∠DPC=∠FPQ，∠DCP=∠FQP，
∴△PFQ∽△PDC，
∴$\frac{PQ}{PQ+QE+EC}$=$\frac{FQ}{CD}$，
∴$\frac{PQ}{PQ+2}$=$\frac{1}{4}$，
解得：PQ=$\frac{2}{3}$，
∴PC=$\frac{8}{3}$，
由对称性可求得tan∠MBC=tan∠PDC=$\frac{\frac{8}{3}}{4}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为$\frac{2}{3}$．

点评 此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出M，N的位置是解题关键．