已知△ABC中.∠C=90°.AB=10.AC=6.点O是AB的中点.将一块直角三角板的直角顶点与点O重合并将三角板绕点O旋转.图中的M.N分别为直角三角板的直角边与边AC.BC的交点．(1)如图①.当点M与点A重合时.求BN的长．(2)当三角板旋转到如图②所示的位置时.即点M在AC上.①猜想图②中AM2.CM2.CN2.BN2之间满足的数量关系式.并说明理由．②� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，点O是AB的中点，将一块直角三角板的直角顶点与点O重合并将三角板绕点O旋转，图中的M、N分别为直角三角板的直角边与边AC、BC的交点．

（1）如图①，当点M与点A重合时，求BN的长．
（2）当三角板旋转到如图②所示的位置时，即点M在AC上（不与A、C重合），
①猜想图②中AM²、CM²、CN²、BN²之间满足的数量关系式，并说明理由．
②若在三角板旋转的过程中满足CM=CN，请你直接写出此时BN的长．

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）连接AN，可证明△OAN≌△OBN，可得BN=AN，根据RT△中AC²+CN²=AN²和BN+CN=BC，即可解题；
（2）①结论为AM²+BN²=CN²+CM²，延长NO到E，使EO=NO，连结AE、EM、MN，可以证明△EOA≌△NOB，可得AE=BN，再根据RT△AEM和RT△CMN中勾股定理即可验证结论；
②根据CM=CN，CM+AM=AC，CN+BN=BC，将AM，BN，CN，CM的值代入上式即可求得CN的长，即可解题．

解答：

解：（1）连接AN，如图①，
∵∠C=90°，AB=10，AC=6，
∴BC=

102-62

=8，
在△OAN和△OBN中，

OA=OB

∠BON=∠AON

ON=ON

，
∴△OAN≌△OBN（SAS），
∴NB=AN，
设BN=x，则CN=8-x，
∵AC²+CN²=AN²，
∴═

；
（2）①AM²+BN²=CN²+CM²，
证明：延长NO到E，使EO=NO，连结AE、EM、MN，
在△EOA和△NOB中，

OB=OA

∠NOB=∠EOA

ON=OE

，
∴△EOA≌△NOB（SAS），
∴AE=BN，∠EAO=∠B，
∴AE∥BC，
∴∠EAC=90°
由垂直平分线性质可得：MN=EM，
∵AE²+AM²=EM²，CN²+CM²=MN²，
∴AM²+BN²=CN²+CM²．
②∵①中已经证明：AM²+BN²=CN²+CM²，
设CM=CN=x，则BN=8-x，AM=6-x，
代入上式得：x=

，
∴BN=

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证AE=BN是解题的关键．

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