Question

已知抛物线y=-x²+2x+m-1与x轴有两个交点A、B．
（1）求m的取值范围；
（2）如果点A的坐标为（-1，0），求此抛物线的解析式，并求出顶点C的坐标；
（3）在第（2）小题的抛物线上是否存在一点P（与C点不重合）使S_△PAB=S_△CAB？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
即b²-4ac=2²-4×（-1）×（m-1）=4+4m-4=4m＞0，
解得m＞0；

（2）∵A的坐标为（-1，0），
∴-（-1）²+2×（-1）+m-1=0，
解得m=4，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+4-1=-x²+2x+3，
即y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x²-2x+1）+3+1=-（x-1）²+4，
∴顶点C的坐标为（1，4）；

（3）存在点P（1-2，-4）或（1+2，-4）．
理由如下：∵△PAB和△CAB都以AB为底边，
∴只要AB边上的高相等，则面积相等，
根据（2），点C的坐标为（1，4），
∴点C到AB的距离为4，
∴可以找到在x轴下方的点P，使S_△PAB=S_△CAB，此时点P的纵坐标为-4，
-x²+2x+3=-4，
整理得，x²-2x-7=0，
解得x===1±2，
∴存在点P（1-2，-4）或（1+2，-4）使S_△PAB=S_△CAB．
分析：（1）根据抛物线与x轴有两个交点，判别式△＞0，列式求解即可；
（2）把点A的坐标代入进行计算求出m的值，再把m的值代入抛物线解析式整理即可得解，把解析式配方写成顶点式，写出点C的坐标即可；
（3）根据同底等高的三角形面积相等可得点P到x轴的距离等于点C到x轴的距离，再根据点P在x轴下方，把点P的纵坐标代入抛物线解析式求出点P的横坐标即可得解．
点评：本题综合考查了二次函数，根的判别式的应用，待定系数法求二次函数解析式，同底等高的三角形的面积相等的性质，把点A的坐标代入抛物线解析式求出m的值是解题的关键．