Question

如图，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD相交于点P，连接PC．求证：
（1）△ACE≌△DCB；
（2）∠APC=∠BPC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）由已知可得∠ACE=∠DCB，然后根据SAS即可证明△ACE≌△DCB；
（2）由（1）证得的△ACE≌△DCB可知AE=BD，根据全等三角形的面积相等，从而证得AE和BD边上的高相等，即CH=CG，最后根据角的平分线定理的逆定理即可证得∠APC=∠BPC．

解答：（1）证明：∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠BCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCE中

CA=CD ∠ACE=∠DCB CE=CB

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），


（2）证明：如图，分别过点C作CH⊥AE于H，CG⊥BD于G，
∵△ACE≌△DCB，
∴AE=BD，S_△ACE=S_△DCB，
∴AE和BD边上的高相等，即CH=CG，
∴∠APC=∠BPC；

点评：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角的平分线定理及其逆定理，本题的关键是借助三角形的面积相等求得对应高相等；