Question

点O是三角形ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC中点D、E、F、G，依次连接起来，设DEFG能构成四边形．
（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若四边形DEFG是正方形，则线段AO与BC应满足条件

 

．（不需写出过程）

Answer 1

考点：三角形中位线定理,平行四边形的判定,正方形的性质

专题：

分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DG∥BC，DG=

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BC，EF∥BC，EF=

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BC，从而得到DG∥EF，DG=EF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥OA，DE=

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OA，再根据邻边垂直相等的平行四边形是正方形解答．

解答：（1）证明：∵AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，
∴DG∥BC，DG=

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BC，EF∥BC，EF=

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BC，
∴DG∥EF，DG=EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）解：∵D、E分别是AB、OB的中点，
∴DE∥OA，DE=

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OA，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE⊥EF，DE=EF，
∴AO与BC垂直且相等．
故答案为：垂直且相等．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，正方形的判定，熟记定理是解题的关键，（2）理解正方形与平行四边形的关系是解题的关键．