Question

向△ABC外作正方形ACFG与ABDE，过A作BC的垂线AH，H为垂足，AH与EG交于P点．求证：AP=

1

2

BC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：作EM∥AG交AP延长线于M，连接GM，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，再由周角定义及正方形现在得到一对角互补，利用同角的补角相等得到一对角相等，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用正方形的性质得到夹边相等，利用ASA得到三角形AEM与三角形BAC全等，利用全等三角形的对应边相等得到EM=AC，AM=BC，根据AC=AG，等量代换得到EM=AG，再由EM与AG平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，得到AEMG为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得到AP=

1

2

AM，等量代换即可得证．

解答：证明：作EM∥AG交AP延长线于M，连接GM，
∴∠AEM+∠EAG=180°，
∵∠EAG+∠BAC=360°-∠BAE-∠CAG=180°，
∴∠AEM=∠BAC，
∵AH⊥MC，
∴∠BAH+∠ABH=90°，
∵∠EAM+∠BAH=180°-∠BAE=90°，
∴∠EAM=∠ABH，
在△AEM和△BAC中，

∠AEM=∠BAC AE=AB ∠EAM=∠ABH

，
∴△AEM≌△BAC（ASA），
∴EM=AC，AM=BC，
∵AC=AG，
∴EM=AG，
∵EM∥AG，
∴AGME是平行四边形，
∴AP=

1

2

AM，
∴AP=

1

2

BC．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．