Question

如图，点C为圆上一点，⊙O直径AB为10cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．
（1）若弦AC为6cm，求BC、AD的长．
（2）当点C在⊙O上运动时，试判断点D是否随着点C的变化而变化？若改变，设AC=x，AD=y，请建立y与x的关系式；若不变，请说明理由．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：综合题

分析：（1）连接OD，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后运用勾股定理就可求出BC长；根据圆周角定理可得∠AOD=2∠ACD=90°，在Rt△AOD中运用勾股定理就可求出AD长．
（2）在（1）中已证到∠AOD=∠BOD=90°，根据“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”可得

AD

=

BD

，即可解决问题．

解答：解：（1）连接OD，如图所示．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵AB=10，AC=6，
∴BC=8．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=

1

2

∠ACB=45°．
∴∠AOD=2∠ACD=90°，∠BOD=2∠BCD=90°．
在Rt△AOD中，
AD=

AO2+OD2

=

52+52

=5

2

．
∴BC的长为8cm、AD的长为5

2

cm．

（2）当点C在上半圆上运动时，点D不变，在下半圆的中点．
理由如下：
∵∠AOD=∠BOD=90°（已证），
∴

AD

=

BD

．
∴点D是下半圆的中点．

点评：本题考查了圆周角定理、勾股定理、圆心角与圆弧的关系、角平分线的定义等知识，属于基础题．