Question

如图1，⊙O在直角坐标系中是一个以原点为圆心，半径为4的圆，AB是过圆心O的直径，点P从点B出发沿圆O做匀速运动，过点P作PC垂直于半径AB，PC的长度随着点P的运动而变化．（各组数据已标出）
（1）当P点的位置如图所示时，求∠OPC和∠POC的度数．
（2）当P点的位置如图所示时，求PC的值．
（3）探究：PC的长度随着∠BOP的变化而变化，设PC的值为y，∠BOP为x，
并规定：①PC在x轴上方记为正，在x轴下方记为负；②逆时针旋转得到的角度记为正，顺时针旋转得到的角度记为负；③π=180°，

1

2

π=900．请写出y关于x的函数关系式，以及x的取值范围．（直接写出答案）
（4）在图2试画出第（3）题中函数的图象．
（5）求出该函数图象的对称轴．（直接写出答案，答案请用含有π的式子表示）

Answer 1

考点：圆的综合题,勾股定理,轴对称图形,锐角三角函数的定义

专题：综合题

分析：（1）利用三角函数就可解决问题．
（2）运用勾股定理即可解决问题．
（3）根据条件中的规定就可得到y=4sinx，其中x为任意实数．
（4）可用描点法画出（3）中函数的图象．
（5）由图可知：该图象的对称轴有无数个，这些对称轴方程分别为…，x=-

3π

2

，x=-

π

2

，x=

π

2

，x=

3π

2

，…，从而可归纳出该图象的对称轴方程．

解答：解：（1）如图1，则有OP=4，OC=2，∠PCO=90°．
∴sin∠OPC=

OC

OP

=

2

4

=

1

2

．
∴∠OPC=30°．
∴∠POC=60°．
（2）如图1，
∵OP=4，OC=2，∠PCO=90°，
∴PC=

OP2-OC2

=2

3

．
∴PC的值为2

3

．
（3）由题可知：y=OP•sin∠BOP=4sinx，其中x为任意实数．
（4）列表

描点，连线，如图2．

（5）由图2可知：该函数图象的对称轴有无数个，
这些对称轴方程为…，x=-

3π

2

，x=-

π

2

，x=

π

2

，x=

3π

2

，…
其中x=-

3π

2

=-2π+

π

2

，
x=-

π

2

=-π+

π

2

，
x=

π

2

=0•π+

π

2

，
x=

3π

2

=π+

π

2

…
归纳：该函数图象的对称轴方程为x=kπ+

π

2

（k为整数）．

点评：本题与高中知识相接轨，考查了三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理、轴对称图形等知识，还考查了阅读、操作、归纳、探究等能力，是一道好题．